割り算の概念

• 分ける( 等分除 )、一番適用範囲の広い「 あらゆる意味で分ける 」
• いくつ含まれるか( 包含除 )、大きい数を小さい数で割る
• 比べる( 割合や比を表す )

これらは、場面や状況で意味が決まります。

割り算と掛け算

割り算の答えを求めるには「 九九の知識 」が必要です。割り算は「 掛け算 」をしているのです。

掛け算が元の数とかける数から「 結果 」を求めるのに対し、割り算は元の数と結果から「 かける数 」を求めるものです。

やっていることは掛け算です。ただ「 着眼点が違う 」だけです。

なので「 割られる数 ÷ 割る数 = 商 … 余り 」→「 割られる数 = 割る数 × 商 ＋ 余り 」と変形できるのです。

例えば「 17 ÷ 3 」なら「 17 = 3 × □ ＋ ○ 」なので、九九の 3 の段の知識( 掛け算 )が必要になります。

計算の仕組み

割り算のルールは「 ケタの大きい方から割る 」です。ここが足し算、引き算、掛け算との違いです。( これらはケタの小さい方から計算します )

例えば、1218 ÷ 21 なら「 1218 を千円札 1 枚、百円玉 2 枚、十円玉 1 枚、一円玉 8 枚 」として、これを 21 人で割る( 分ける )と考えます。

すると、千円札は 1 枚しかないので 21 人に分けられません。よって、百円玉に両替します。結果、百円玉が合計 12 枚になりました。

百円玉も 12 枚では 21 人に分けられないので、十円玉に両替します。すると、十円玉が合計 121 枚になり、これなら 21 人に分けられます。

十円玉 121 枚を 21 人で分けるので、これを式で表すと、「 121 ÷ 21 = 5 … 16 」つまり十円玉を 21 人に「 5 枚ずつ 」配ったら、16 枚余った。

掛け算で見ると、5 × 21 = 105 これは十円玉を 105 枚配った。つまり「 1050 円配った 」ということです。

元の金額から 1050 円分配ったので、 1218 − 1050 = 168 となり、残金は 168 円となります。

この 168 円の内訳は、余った十円玉 16 枚と一円玉 8 枚です。ここからまた同様に、十円玉が 16 枚しかないので、一円玉に両替します。

すると、一円玉が 168 枚となったので 21 人に分けられます。 168 ÷ 21 = 8 となり、一円玉は「 8 枚ずつ 」配れました。

割り切れたので、これで元のお金が全て 21 人に等分されました。結果、1 人あたり「 十円玉 5 枚と一円玉 8 枚 」の合計 58 円もらえました。

割り算の結果

割り算の計算結果は、「 割る数 」の数だけ分類されます。

例えば、3 で割る( 割る数が 3 )なら、計算結果は「 割り切れる 」「 1 余る 」「 2 余る 」の 3 つに分類されます。

四則計算の関係性

「 足し算と引き算 」 , 「 掛け算と割り算 」これらはそれぞれ「 逆の関係 」になっています。

例えば、7 ＋ 3 − 3 ＝ 7  ← 足した数を引いたら元の数。 7 × 3 ÷ 3 ＝ 7  ← 掛けた数で割ったら元の数。

というような関係です。数学では、ある計算とその逆の計算を「 1 つの組 」として考えます。

ちなみに「 微分( 不思議な割り算 )」と「 積分( 凝った掛け算 )」も逆の関係と言えます。

「 0 」で割ることはできない

例えば、 4 ÷ 0 ＝「 結果 」とすると、 0 ×「 結果 」＝ 4 となってしまいます。

でもこれは「 ありえない事 」です。なので、0 で割ること( 割る数が 0 )は「 不能 」であると言います。

また、 0 ÷ 0 ＝「 結果 」だと、 0 ×「 結果 」= 0 となり、これだと「 結果 」はどんな数でもいい事になってしまいます。

つまり「 特定できない 」のです。なので、0 ÷ 0 は「 不定 」であると言います。分数の \(\displaystyle\frac{0}{0}\) も不定と言えます。

ちなみに 0 を割る( 割られる数が 0 )場合は、答えは「 0 」です。例えば、0 ÷ 4 = 結果 は、4 × 結果 ＝ 0 なので、結果は「 0 」だけです。

小数の場合

小数の割り算( 割る数が小数 )の場合には、割る数を「 整数 」にして計算します。

例えば、 3.25 ÷ 2.5 なら「 3.25 ÷ 25 × 10 」と変形して計算します。

これは、2.5 で割るところを 10倍の 25 で割った( 10倍多く割った )ので、最後に 10 倍して調整しています。

この 2.5 を 25 にする( 10倍する )とは、2.5 を「 25 として見ている 」という意味です。

つまり「 1 の視点から 0.1 の視点に変えた 」ということです。

2.5 とは 1 から見れば 2.5 倍( 2.5 個分 )であり、0.1 から見れば 25 倍( 25 個分 )であるからです。

よって、この計算結果は「 0.1 あたりの数 」になってしまうので、最後に「 10倍 」して「 1 あたりの数 」に直します。

つまり、3.25 ÷ 2.5 だと「 1 あたりの量 」を指し、これを 3.25 ÷ 25 に変えると「 0.1 あたりの量 」になるわけです。

そして最後に、1 あたりの量に戻すため、 10倍しているという流れです。( 0.1 の 10倍が 1 なので )

3.25 ÷ 25 × 10 = 0.13 × 10 = 1.3 となります。割る数の小数のケタが 2 ケタ以上の場合でも同様です。

例えば、割る数が 2.53 ( ÷ 2.53 )なら、100倍して 253 にして計算します。これは 0.01 の視点です。 0.01 から見ると 2.53 は 253 倍( 253 個分 )となっています。

小数の掛け算

例えば、1 × 0.1 = 0.1 とは「 1 が 0.1 個あるときは 0.1 」という意味です。

1 は 0.1 を 10個集めたもの( 0.1 が 10個で 1 )なので、0.1 個とは「 1 を 10個に分けたときの 1 個 」とも言えます。

なので「 1 ÷ 10 = 0.1 」と変形しても「 意味は同じ 」ということです。よって\(\displaystyle\frac{1}{10}\) = 0.1 とも言える事になります。

まとめると、1 × 0.1 = 1 ÷ 10 = 1 ×\(\displaystyle\frac{1}{10}\) となり、全て「 1 を 10個に分けたときの 1 個( 10個で 1 になる) 」という意味です。

同様に、0.1 × 0.1 = 0.1 ÷ 10 = \(\displaystyle\frac{1}{10}\)×\(\displaystyle\frac{1}{10}\) なら、「 0.1 を 10個に分けたときの 1 個( 10個で 0.1 になる) 」なので「 0.01 , \(\displaystyle\frac{1}{100}\) 」となります。

また、1 × 10 = 1 ÷ 0.1 = 1 ÷\(\displaystyle\frac{1}{10}\) という関係でもあります。

具体的な計算の仕方は「 整数に直して計算し、最後に小数点の計算 」をします。

例えば、2.5 × 1.5 なら「 25 × 0.1 × 15 × 0.1 」と整数を作って計算します。

25 × 15 × 0.1 × 0.1 = 375 × 0.01 = 3.75 という感じです。

0.3 × 5 なら「 3 × 0.1 × 5 」と直して、3 × 5 × 0.1 = 15 × 0.1 = 1.5 となります。

あとがき

少し長く、内容もだいぶ詰め込んでしまいましたが、割り算の仕組みや本質をつかむには、是非理解しておきたい大切な知識です。

割り算は「 四則計算の総仕上げ 」と呼ばれるので、「 割り算を制するものは、四則計算を制す 」と言えるかもしれません。

少しでも四則計算に、自信を持って頂けたら幸いです。

最後までお読み頂きまして、誠にありがとうございました。