分数の概念と計算方法

2019年11月28日 2020年2月28日

第 6 回のテーマは「 分数の概念と計算方法 」です。

割り算 , 割合 , 比の「変形」である「分数」についての話です。

今までの「割り算 , 割合 , 比」の知識は、この「分数」を理解することで全てが繋がり、完成します。

分数は小数とも密接な関わりがあります。なぜ整数だけではダメで、分数や小数が生まれたのか。

こういった所から書いていきたいと思います。

1 分離量と連続量
- 1.1 分数は「連続量」を表す
2 分数の概念
3 分数と小数
4 分数の計算方法
5 あとがき

分離量と連続量

「量」とは「物事の大きさや多さなど」を表します。

そしてこの量は「分離量」と「連続量」に分けられます。

分離量とは、

人、動物、物などの「単体の数」を表す。
自然数( 正の整数 )で表現される。
単位が日本語になる。( 人、個、台、匹、本など )
最小単位が決まっている。( 1 人、1 個、1 台、1 匹、1 本など )

連続量とは、

水、土地、時間などのように「無限に細かく」分けられる。
ひとつに合わせると「境目がなくなる」もの。
「広さ、重さ、長さ、大きさ、濃度、温度、密度など」を表す。
「小数や分数」でも表される。
単位が「アルファベット」で表せる。( m、g、ℓ など )
最小単位が「決まっていない」( 人為的に単位を決めて測定している )

以上のような特徴があります。

例えば、人数は「分離量」ですが、身長は「連続量」です。

分数は「連続量」を表す

連続量は「半端がでる」ものなので、その半端を表すのが、分数や小数です。

そして、連続量とは「何かを比べる為に生まれたもの」です。「量は比較から始まる」と言われます。

分数は、この「連続量」を表すものです。つまり分数や小数は「比較のために生まれた概念」だと考えられます。

分数の概念

ここから、今回のメインである「分数の概念」に入っていきます。

「分数と割り算の関係」「分数の構成」「分数の注意点」「分数の重要な原理」といった流れで書いていきます。

分数は割り算の「化身」

分数は割り算の「化身」である。と表現される事があります。

例えば、\(\displaystyle\frac{2}{3}\) とは「 1 つのものを 3 等分した時の 2 個分」という意味です。

式にすると、\(\displaystyle\frac{2}{3}=1\div3\times2\) であり、これは \(\displaystyle\frac{1}{3}\) が 2 個分です。

そして、もうひとつ大事な意味が、\(\displaystyle\frac{2}{3}\) とは「 1 つのものを 2 倍にして、3 つに分けたもの」とも言えます。

式にすると、\(\displaystyle\frac{2}{3}=1\times2\div3\) であり、これも \(\displaystyle\frac{1}{3}\) が 2 個分です。

以上より、\(1\div3\times2=1\times2\div3=\displaystyle\frac{2}{3}\) という関係である事が分かりました。( ÷3 と×2 の順序を換えても結果は同じ )

分数の構成

分子は「全体の数量( 割られる数 ) 」であり、分母は「等しく分ける数( 割る数 ) 」です。

分数とは \(\displaystyle\frac{分子(割られる数)}{分母(割る数)}=分子\div分母\) となっています。

例えば、\(\displaystyle\frac{1}{2}\) は「 1 ÷ 2 」であり、比は「 1 : 2 」となります。

2 つに分ける( ÷2 )とは、\(\displaystyle\frac{1}{2}\) を掛ける事でもあります。( その物の \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 個分という意味 )

同様に 3 つに分ける( ÷3 )とは、その物を \(\displaystyle\frac{1}{3}\) ずつ分ける事なので、\(\displaystyle\frac{1}{3}\) を掛ける事です。

この事から「整数」とは「 1 つに分けた( ÷1 をした)もの、つまり分母( 割る数 )が 1 である 」という事ができます。

−1 とは \(\displaystyle\frac{-1}{1}\) の事であり、−1 ÷ 1 = −1
0 とは \(\displaystyle\frac{0}{1}\) の事であり、0 ÷ 1 = 0
1 とは \(\displaystyle\frac{1}{1}\) の事であり、1 ÷ 1 = 1
2 とは \(\displaystyle\frac{2}{1}\) の事であり、2 ÷ 1 = 2

このように「整数」には「 分母の 1 」が隠れています。

以上の事をまとめると、

\(分数=\displaystyle\frac{整数(0,\pm1,\pm2…)}{自然数(1,2,3…)}\) という形で構成されています。

また、これら( 自然数 , 整数 , 分数 )は「 有理数( 分数で表せる数のこと ) 」と呼びます。小数も「分数で表せるもの」は有理数になります。

つまり分数は、分子が「 0 」であれば全体で「 0 」を表し、分母が「 1 」であれば「整数( 分子 ) 」そのものを表すと言えます。

ちなみに、分母が「 0 」は「 0 で割る事」であり、これは「不能」なので扱われません。詳しくは第 4 回のテーマ「割り算の概念」の「 0 で割ることはできない」で解説しております。

分数の注意点

分数の厄介なところは、大きさ( 量 )が同じなのに、見た目の数字が無限に変わってしまう事です。

例えば、\(\displaystyle\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=\frac{8}{12}=\frac{10}{15}…\)

といったように、どれも同じ大きさ\(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)\)であるのに、数字が全く変わっています。

これがあるので、分数には「約分」や「通分」が必要になるわけです。

分数の重要な原理

「 分子と分母に同じ数を掛けても( 同じ数で割っても )大きさは変わらない 」これが分数の重要な原理になります。

例えば、\(\displaystyle\frac{2}{3}\) の分子と分母に 2 を掛けると、\(\displaystyle\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{4}{6}\) です。

さらに、この \(\displaystyle\frac{4}{6}\) の分子と分母に 3 を掛けると、\(\displaystyle\frac{4\times3}{6\times3}=\frac{12}{18}\) となります。

そして、これらは \(\displaystyle\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{12}{18}\) という関係になっています。

これは「元の大きさを、ただ細かく分けているだけ」なので、細かく分けた分を同じ分だけ、分子も増やせば「比率 , 割合に変化はない」からです。

そして \(\displaystyle\frac{2}{3}\) に戻したい場合は、逆に「分子と分母を同じ数で割ればよい」となり、これが「約分」です。

ただ、約分の反対、つまり分子と分母に同じ数を掛ける時の名前がないのです。明治時代までは「倍分( ばいぶん ) 」と呼ばれていました。

数の大きい分数を約すから「約分」, 倍にするから「倍分」とイメージすると、覚えやすいかも知れません。

そして「通分」とは、2 つ以上の分数の「 分母が同じになるように 」、それぞれの分数を「 倍分する 」ことです。

互いに通じる分数にするから「通分」と覚えるといいかも知れません。

分数と小数

分数は「数の大小関係がわかりにくい」という欠点があります。

そこで、0 〜 1 までの数を具体的に表す「小数」が使われます。

例えば、

\(\displaystyle\frac{1}{10}=1\div10=0.1\)
\(\displaystyle\frac{1}{100}=1\div100=0.01\)
\(\displaystyle\frac{1}{1000}=1\div1000=0.001\)

また、

\(\displaystyle\frac{1}{10}\times10=\frac{10}{10}=1\)
\(\displaystyle\frac{1}{10}\times100=\frac{100}{10}=10\)
\(\displaystyle\frac{1}{10}\times1000=\frac{1000}{10}=100\)

以上のことから、10 で割るごとに「 小数点が左に移動 」し、10 を掛ける( 10倍 )ごとに「 小数点が右に移動 」する事が分かりました。

分数から、数の大小関係を判断する手順としては、

例えば、\(\displaystyle\frac{11}{10}\) なら、\(\displaystyle\frac{10}{10}=1\) であり \(\displaystyle\frac{20}{10}=2\) なので、\(1\lt\displaystyle\frac{11}{10}\lt2\) である事が分かります。

そして、11 = 10 × 1 + 1 なので \(\displaystyle\frac{11}{10}=\frac{10\times1+1}{10}=\frac{10}{10}+\frac{1}{10}\) であり、

\(1+\displaystyle\frac{1}{10}=1+0.1=1.1\) となります。

分数と小数が混在した計算の場合は、割り切れる( 小数に直せる )なら「小数に統一」して、割り切れないなら「分数に統一」して計算しましょう。

なので、

\(\displaystyle\frac{1}{2}=0.5\)
\(\displaystyle\frac{1}{3}=0.333…\)
\(\displaystyle\frac{1}{4}=0.25\)
\(\displaystyle\frac{1}{5}=0.2\)
\(\displaystyle\frac{1}{8}=0.125\)
\(\displaystyle\frac{1}{10}=0.1\)

以上の事は覚えておくと、計算する時に便利です。

分数の計算方法

最後は「分数の計算の仕組み」です。

「分数の足し算 , 引き算」「掛け算と割り算の関係」「分数の掛け算 , 割り算」の流れで書いていきます。

分数の「足し算 , 引き算」

例えば、\(0.25+0.2=0.45\) を分数で表すと、\(\displaystyle\frac{25}{100}+\frac{2}{10}=\frac{45}{100}\) となります。

これを約分すると、\(\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{9}{20}\) です。この式はどんな計算方法で成り立っているのでしょうか。

\(\displaystyle\frac{9}{20}\) とは「全体を 20 等分した時の 9 個分」なので、これと比較する為に \(\displaystyle\frac{1}{4}\) と \(\displaystyle\frac{1}{5}\) も同じ状態( 全体を 20 とした状態 )で比べたいです。

つまり「分母を 20 に統一して比べたい」ので、ここで「 1 の変形」を使います。

「 1 を掛けても、大きさは変わらない 」事と「 分子と分母に同じ数を掛けても、大きさは変わらない 」事の 2 つを使い、分母を 20 に統一します。

\(\displaystyle\frac{1}{4}\times\frac{5}{5}=\frac{5}{20}\) \(\displaystyle\frac{1}{5}\times\frac{4}{4}=\frac{4}{20}\) こうすると分母を 20 に統一できます。

以上から、\(\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{5}{20}+\frac{4}{20}=\frac{9}{20}\) となっています。

つまり、分数の足し算 , 引き算をするには「 共通の分母を作る事 」が必要であり、これが「通分」です。

通分とは「 公倍数( 共通な倍数 ) 」を見つける事です。

一番簡単な「公倍数」の見つけ方は「両者を掛け算する」ことです。今回なら 4 × 5 = 20 ( 分母同士を掛けたもの → 公倍数 )

「掛け算と割り算」の関係

例えば、\(6\times\displaystyle\frac{1}{3}\) は「 6 の \(\displaystyle\frac{1}{3}\) 個分」なので、「 6 を 3 つに分ける」つまり「 6 ÷ 3 」です。

また、3 ÷ 3 = 1 であり、( 1 ÷ 3 )× 3 = \(\displaystyle\frac{1}{3}\times3\) = 1 であり、

3 ×( 1 ÷ 3 ) = \(3\times\displaystyle\frac{1}{3}\) = 1 なので、\(3\div3=3\times\displaystyle\frac{1}{3}\) と言えます。

以上により、「割る」とは「 逆数を掛ける 」という意味です。

この手法を使うことで「割り算を掛け算に書き換える」ことができます。

分数の「掛け算 , 割り算」

分数の掛け算は「 分子同士 , 分母同士を掛ける 」

例えば、\(\displaystyle\frac{2}{3}\times\frac{1}{5}=\frac{2\times1}{3\times5}=\frac{2}{15}\) となります。

分数の割り算は「 割る数の逆数を掛ける 」

例えば、\(\displaystyle\frac{2}{3}\div\frac{5}{7}=\frac{2}{3}\times\frac{7}{5}=\frac{2\times7}{3\times5}=\frac{14}{15}\) となります。

あとがき

分数は、割り算や比の「変形」と書きましたが、こうやって見てみると、変形どころか割り算や比「そのもの」なのだと感じました。

これを知った時「なんだ、そうだったのか〜」と感動して嬉しくなりました。知らない事を知るのはやっぱり楽しいです。

この記事が「割り算 , 比 , 分数」の繋がりを理解する、何か一助となれば幸いです。

最後までお読み頂きまして、誠にありがとうございました。