指数のしくみ , 約分と素因数分解

第 9 回のテーマは「 指数のしくみ , 約分と素因数分解 」です。前回( 約数と倍数  素数と素因数分解 )学んだ素因数分解の続きの話になっています。

同じ数を掛け算する「 累乗(るいじょう) 」で使われる「 指数(しすう) 」の定義や、指数を使った計算の仕組み、「 負の指数 」の定義と使い方。

そして「 指数を使って素因数分解を表す 」ことで、「 約分( 公約数 ) 」が簡単にできるようになります。

素因数分解の世界が広がっていく話です。

指数のしくみ

同じ数を繰り返し掛け算することを「 累乗(るいじょう) 」と言います。

例えば、元になる数が 2 なら \(2^2\) ( 2 の 2 乗 ) , \(2^3\) ( 2 の 3 乗 ) ,  …  と書いていきます。

累乗は 掛け算した数の個数 を、その肩に乗せて表しています。

\(2^2\)= 2×2 ←( 2 個 ) ,  \(2^3\)= 2×2×2 ←( 3 個 ) ,  …  ということです。

この「 肩の数字 」を「 指数( 累乗の指数 ) 」と呼びます。

そして、累乗の掛け算というのは「 指数の足し算 」になっています。

例えば、\(2^2\times2^3\)= (2×2)×(2×2×2) = 2×2×2×2×2 = \(2^5\)

つまり、\(2^2\times2^3=2^{2+3}=2^5\) ということです。

\(2^1\) ( 2 の 1 乗 ) とは「 2 そのもの 」なので、\(2^1=2\) となります。

例えば、\(2\times2^3=2^1\times2^3=2^{1+3}=2^4\) ということです。

累乗の割り算

例えば、32 ÷ 8 = 4   分数で表すと \(\displaystyle\frac{32}{8}=4\)  があるとします。

これを累乗で表すと \(32=2^5\)   \(8=2^3\)   \(4=2^2\) なので、

\(2^5\div2^3=\displaystyle\frac{2^5}{2^3}=2^2\) となります。これは 5 乗 と 3 乗 から 2 乗 が導かれています。つまり 5 − 3 = 2 なので、

\(2^5\div2^3=\displaystyle\frac{2^5}{2^3}=2^5\times\frac{1}{2^3}=2^5\times2^{-3}\) という状態だということです。

これを解いて、\(2^5\times2^{-3}=2^{5-3}=2^2\) となっているわけです。

よって、累乗の割り算逆数の関係 」を利用して「 負の指数 」を定義すれば良いと言えます。割るとは逆数を掛ける事です( 分数の概念 掛け算と割り算の関係より)。

例えば、\(2^{-1}=\displaystyle\frac{1}{2^1}\)      \(2^{-2}=\displaystyle\frac{1}{2^2}\)      \(2^{-3}=\displaystyle\frac{1}{2^3}\)   …  となっています。

結論、負の指数だと逆数になる。つまり「 \(a^{-n}=\displaystyle\frac{1}{a^n}\) 」ということです。

「 0 乗 」の仕組み

逆数とは、元の数を掛けたら「 1 」になる数( 分子と分母を逆にした数 )なので、

\(2^1\times\displaystyle\frac{1}{2^1}=1\)   \(2^2\times\displaystyle\frac{1}{2^2}=1\)   \(2^3\times\displaystyle\frac{1}{2^3}=1\)  ということです。

これを負の指数を使って表すと、

  • \(2^1\times2^{-1}=2^{1-1}=2^0=1\)
  • \(2^2\times2^{-2}=2^{2-2}=2^0=1\)
  • \(2^3\times2^{-3}=2^{3-3}=2^0=1\)

以上が成立する事になります。

よって、全ての数( 0 は除く )の「 0 乗 」は「 1 」という事になります。

分数の「 負の指数 」

例えば、\(\displaystyle\frac{5}{7}\times\frac{7}{5}=1\)  という式を、負の指数( 逆数になる )を使って考えてみると、

\(\displaystyle\frac{5}{7}=\left(\frac{7}{5}\right)^{-1}\)   \(\displaystyle\frac{7}{5}=\left(\frac{5}{7}\right)^{-1}\)なので上記の式は、

\(\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^1\times\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{-1}=\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{1-1}\)

よって  \(\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^0=1\)  と書き換えることができます。

このように、分数でも「 0 乗 = 1 」が成り立っています

また、\(2\times\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1\)  というのも、

\(2^1\times2^{-1}=2^{1-1}=2^0=1\)  という関係が成り立っています。

約分と素因数分解

例えば、\(\displaystyle\frac{1188}{630}\)  の分子と分母を、それぞれ素因数分解すると、

\(\displaystyle\frac{2^2\times3^3\times11}{2\times3^2\times5\times7}\)  となります。ここから分子と分母の共通している数を取り出すと

\(\left(\displaystyle\frac{2\times3^2}{2\times3^2}\right)\times\displaystyle\frac{2\times3\times11}{5\times7}\)   となります。

つまり、\(1\times\displaystyle\frac{2\times3\times11}{5\times7}=\displaystyle\frac{66}{35}\)  と約分できるのです。

一般的な約分だと、\(\displaystyle\frac{1188}{630}\)  の分子と分母を 2 で割って(共通の 2 を取り出して)、

\(\displaystyle\frac{594}{315}\) 分子と分母を 3 で割り \(\displaystyle\frac{198}{105}\) また 3 で割り \(\displaystyle\frac{66}{35}\)  とやっています。

やっている事は同じなので「 素因数分解で約分ができる 」という事です。

「 互いに素 」と「 既約分数 」

もう約分ができない、つまり共通の素因数( 約数 )がない 2 数の関係を 互いに素 」と言います。上記の例だと 66 35互いに素です。

また「 互いに素な分子と分母を持つ分数を、既に(すでに)約分されてしまったという意味で「 既約分数(きやくぶんすう) 」と言います。

「 分数を簡単にしなさい = 約分しなさい = 既約分数を求めなさい 」は全て同じ意味です

つまり「 分子と分母を、互いに素になるまで、共通する素因数を取り出す 」という事です。

公約数と素因数分解

先ほどの  \(\displaystyle\frac{1188}{630}=\displaystyle\frac{66}{35}\)  は、\(\displaystyle\frac{1188}{630}=\displaystyle\frac{66\times18}{35\times18}\)  でもあります。

この「 18 」というのは「 1188 ÷ 66630 ÷ 35 」で求めたものです。先ほどの例で約分した時に「 分子と分母から取り出した共通の数 」そのものです。

つまり、この「 18 」とは分子と分母の「 公約数( 共通の約数 ) 」なのです。

そして、この「 公約数 18 」は素因数分解で見つかったものです。

\(1188=2^2\times3^3\times11\)    \(630=2\times3^2\times5\times7\)

この 2 つの数に共通する約数(公約数)が\(2\times3^2=18\) 」だったのです。

そして、この公約数を取った( 約分した )残りが  \(\displaystyle\frac{66}{35}=\displaystyle\frac{2\times3\times11}{5\times7}\)  でした。

さらに、この「 公約数 18 」は「 最大公約数 」でもあるのです。

そして「 最大公約数の約数 = 公約数 という関係があります。最大公約数は「 \(2\times3^2=18\) 」なので 18 の約数を求めれば、全ての公約数が分かります。

18 \(2\times3^2\) つまり2 , 3 , 3の組み合わせで、最大公約数の約数( 公約数 )出来ているという意味になります。

この「の組み合わせ 」は「 0 乗を含めた指数 」を使って表します。今回だと「 2 , 3 , 3 」なので「 2 が 1 , 3 が 2 」使えます。

つまり、2 の候補は  \(2^0\) と \(2^1\)  の 2 通りとなり、3 の候補は  \(3^0\sim3^2\)  までの 3 通りとなります。

これら合計 6 通り( 2×3 通り)のの組み合わせを見てみると、

\(2^0\times3^0=1\)    \(2^1\times3^0=2\)    \(2^0\times3^1=3\)

\(2^1\times3^1=6\)    \(2^0\times3^2=9\)    \(2^1\times3^2=18\)

このように求められた「 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 」は、最大公約数 18 の約数であり、1188 と 630 の全ての公約数もあるという事です。

要するに「 素因数分解した数を指数を使ったの組み合わせ( 0 乗も含む )で表すと、約数が全てわかる 」という事です。( 18 を素因数分解する事で 18 の約数が全てわかる )

そして「 最大公約数の約数を求めた場合は、その約数がそのまま公約数になっている 」という事です。( 18 は最大公約数だったので、18 の約数は公約数でもある )

既約分数である  \(\displaystyle\frac{66}{35}\)  の分子と分母それぞれの約数も、同様に素因数分解を使って求めます。

66 = 2×3×11    35 = 5×7 なので、66 の約数は「 2 , 3 , 11 」の積の組み合わせ( 0 乗も含む)、35 の約数は「 5 , 7 」の積の組み合わせ( 0 乗も含む)で出来ています。

上記のように、指数を使って積の組み合わせを見ると、66 の約数が「 1 , 2 , 3 , 6 , 11 , 22 , 33 , 6635 の約数が「 1 , 5 , 7 , 35 」とわかります。

ここで注目したいのが、既約分数の分子と分母の公約数は「 1 だけ 」で、最大公約数も「 1 」である事です

よって、既約分数とは分子と分母の最大公約数が「 1 」である分数と言えます。

余談
整数論( 数論 )という「 数の性質そのものを専門的に研究する分野 」では、
例えば、1188 と 630 の最大公約数は 18 というのを、( 1188 , 630 ) = 18 と表記します。
また、互いに素な 2 数( 例えば 66 と 35 )の公約数は「 1 」のみというのを、
( 66 , 35 ) = 1 と表記します。

あとがき

細かく複雑な話になってしまったのですが、理解してみると非常にシンプルな仕組みだと思います。

今回のポイントは「 最大公約数の約数 = 公約数 」と「 素因数分解した数を指数を使ったの組み合わせ( 0 乗も含む )で表すと、約数が全てわかる 」です。

以上と、素因数分解を使う事で「 最大公約数も約数も公約数もすべて求められる 」という事です。

そして「 負の指数 」という概念もとても便利なものでした。これはまた大きな武器になりそうです。

次回で素因数分解 3 部作の完結です。今回学んだ 2 つのポイントを使って、素因数分解がさらなる飛躍を見せます

最後までお読み頂きまして、誠にありがとうございました。