奇数と偶数 , 三角数と四角数

第 7 回のテーマは「 奇数と偶数 , 三角数と四角数 」です。

なんとなく分かった気でいた「 奇数と偶数 」を、しっかり定義として理解しておこうと思います。

「 三角数と四角数 」というものは、恥ずかしながら自分は知らなかったのですが、これは「 数列の和 」の話です。

数列というと自分は、高校で習うような難しいイメージを持つのですが、三角数と四角数の仕組みはシンプルで、数列に慣れるにも良いと思います。

三角数は「 1 から特定の自然数までの和 」を表し、四角数は「 1 から数えて \(n\) 番目までの奇数の和 」を表します。

それでは、これらを順番に見ていきたいと思います。

奇数と偶数

整数は、2 で割り切れる「 偶数 」と、2 で割った時に 1 余る「 奇数 」に分けられます。

ちなみに「 0 」は 2 で割っても余りが出ないので「 偶数 」です。

また奇数と偶数は交互に現れるので( 偶数に +1 or -1 すると奇数、奇数に +1 or -1 すると偶数 )、1 ( 奇数 )から 1 引いた「 0 は偶数 」です。

「 偶数 」\(\pm\)「 偶数 」＝「 偶数 」であり、「 奇数 」\(\pm\)「 奇数 」＝「 偶数 」

このように「 同じもの同士は 」足しても引いても「 偶数 」です。

「 偶数 」\(\pm\)「 奇数 」or「 奇数 」\(-\)「 偶数 」＝「 奇数 」

このように「 違うもの同士は 」足しても引いても「 奇数 」になります。

また、掛け算の場合では、

「 偶数 」×「 偶数 」＝「 偶数 」であり、「 奇数 」×「 偶数 」＝「 偶数 」です。

これは、偶数＋偶数＝偶数なので、いくつ足そうが偶数。1 余るものでも「 偶数個 」あれば「 奇数＋奇数＝偶数 」のペアができるので「 割り切れる 」からです。

「 奇数 」×「 奇数 」＝「 奇数 」このように「 奇数同士を掛けた時 」だけ「 奇数 」になります。

これは、奇数のペアを作っても、「 1 つ奇数が残る 」ので奇数です。

まとめ

以上を整理してまとめると、「 \(n\) 」が整数のとき、( \(n\) は number の \(n\) つまり数のことです )

偶数とは「 \(2n\) ( 2 の倍数が偶数 ) 」であり、奇数とは「 \(2n-1\) ( 偶数から 1 引くと奇数 ) 」となります。

ちなみに、奇数は \(2n+1\) と表すこともありますが、どちらにしても偶数に「 1 を足す 」or 偶数から「 1 を引く 」と奇数ということです。

使い分けとしては「 \(n\) 」 に「 自然数 」を入れて「 正の奇数 」を求めるときには「 \(2n-1\) 」を使い、

「 \(n\) 」に「 負の整数 」を入れて「 負の奇数 」を求めるときには「 \(2n+1\) 」を使うと使いやすいです。

これにより、例えば「 3 番目( 3 つ目 , 3 個目 )の奇数は何か？ 」を求める場合、

「 \(2n-1\) 」の \(n\) に 3 を代入して、2 × 3 − 1 = 5 となり、3 番目の奇数は 5 と出せます。( 1 , 3 , 5 で 3 番目 )

三角数とは

三角数とは「 ● を正三角形に並べた時の、● の個数( 合計数 ) 」のことです。

これは「 1 から特定の自然数までの和 」にもなっています。

上図のように、